MATEMATICAS 2 TRIGONOMETRIA COBAO 04 EL TULE SEMESTRE 2020-A XOCHITL FERNANDA ALONSO PRUDENTE GRUPO:205

MATEMATICAS 2

TRIGONOMETRIA

COBAO 04 EL TULE

SEMESTRE 2020-A

ALUMNA: ALONSO PRUDENTE XOCHITL FERNANDA

GRUPO: 205

PROFESOR: ALEJANDRO VAZQUEZ MARTINEZ

Lista de trabajo de matemáticas 2:

·         Paginas 48, 49,50,51 y 53 del libro de trigonometría

·         Lección 1.6,2.6, y 3.6 de constrúyete

·         Resumen de conceptos

CALCULAR EL CATETO B SABIENDO QUE:

1.     a=26 .45   b=37° 20’                      sustitución   B=26.45*0.6019

	B

 

Sem B

A=

	B      37°   20’

 

   R-b= 15.91 m           26.45=                  

                                                                                

2.     a=54.17      b=58°   45’

	b        a		b=54.17*0.8405

 

b=(a) (sen B)

Sen B=

  R-b=45.52m

3.     a=32.27    b=39°50’

	b       a
			b=(a) (sen b)

 

sen B=

			b= 32.27*0.6294
	R-b=20.31

 

4.      a=52.56    b=37°26’

	b        a
			b=(a) (sen B)

 

b=52.56*0.6019

sen B=

                R-b=31.63m

5.     a=125.34    b=49°   37’

125.34*0.75              b=94.59

6.     b=324.43     B=17°   38’

b=324.43*0.29              b=94.85

     CALCULESE LA HIPOTENUSA, SABIENDO QUE:

7.     b= 42    B=37°   40’

8.     b=56.48    B=75°   20’

          9.  b=72.46       B=35°   40’

10.      b=75      B=35°   43’

SenB=b/B             a=b/SenB

75/0.5735                 R=130.77

11.  b=37.40      B=27°   36’

SenB=b/B             a=b/SenB

                                                        37.40*0.4539              R=86.72m

12.  b= 125.54      B=36°   57’

SenB=b/B             a=b/SenB

                                                            125.54*0.5877              R=208.84m

CALCULAR EL ANGULO B, SABIENDO QUE:

13. a= 37.42     b=21.20

SenB=b/a               SenB=21.20/37.42                R=34.50°

14. a=56.81     b=17.14

SenB=b/a               SenB=17.14/56.81          R=17.56°

15. a=24.35    b=8.93

SenB=b/a            SenB=8.93/29                R=21.51°  

       16.b=32.44    a=65.43

Sen =b/a                 Sen=32.44/65.43                 R=34.90°

      17.b=12.21     a=54.12

Sen =b/a                 SenB=12.21/54.12           R=13.03°

 18.b=42.34      a=45.48

Sen =b/a                 SenB=42.34/45.48            R=68.58°

 19.Una escalera de 9m esta apoyada contra una pared ¿Qué altura alcanza si forma con el suelo, supuesto horizontal, un ángulo de 72°?

Sen =b/a  =b=9*senB                  b=(9)(0.9510)         R=8.55m             

20.se inscribe un decágono regular en una circunferencia de 5cm de radio. Calcúlese la longitud del lado de dicho polígono

b=a/cosa            b=5/0.95               R=5.25cm

21. ¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita a un heptágono regular de 2cm de lado?

SenB=b/a =a=b/senB          a=2/0.7818                 R=2.55cm

N

22. se necesita recorrer la distancia norte-sur de un terreno cercano. Para eso se trazan las rectas ON y OS y se mide le ángulo NOS, que resulta de 38° ¿Cuál es la distancia, si N a O hay 300m y la recta NS es perpendicular a OS?

   SenB=b/a          b=(a)(senB)    b= (300)(0.6156)         R=184.69

					38°
	O
							S

 

23.Un obrero tiene una escalera de 12m. ¿Qué ángulo debe hacerle formar en el suelo, si quiere alcanzar una altura de 9m?

SenB=b/a               SenB=9/12=0.75                      R=48.60°

24. La luz de un puente forma un arco de 66°, correspondiente a una cuerda de 34m .calcúlese el radio de dicho arco

SenB=b/a =a=b/senB                      a=34/0.4135                 R=37

       25. el ángulo en la base de un triángulo isósceles es de 34°, y la altura mide 15m.  calcúlese la longitud de cada uno de los lados iguales

SenB=b/a                      a=b/senB                               a=15/0,5591

R=26.82m

26.supuesta la tierra esférica y el radio ecuatorial de 6378 km , calcular la distancia BC del plano de trópico de cáncer al plano del ecuador

SenB=b/a         b=(a)(SenB)=   b(6378)(0,3907)

R=2492,08km

27. ¿Cuánto mide , según los datos del ´problema anterior , el radio DC de cada uno de los trópicos, y cual es la longitud de la circunferencia correspondiente?

senB=b/a        b=(a)(senB)       b=(6378)(390)

R=2992.88km

           28. ¿Cuál es, en kilómetros, la longitud de un arco comprendido entre dos puntos situados sobre el paralelo 48° 50’, si la diferencia de longitudes es de 15°?

Sen B=b/a        b=(a)(senB)=(15)(0.7)

R=201

         29. ¿Cuántos kilómetros hay que recorrer sobre el paralelo 40° para que el arco correspondiente sea de 10°?

senB=b/a                     a=40/0.1736=230km

CALCULESE EL CATETO C CON LOS DATOS SIGUIENTES:

1.    a=36.42        b=38°           cosB=c/a         b=36.42/0.7880                 R=46.21

2.     a=75.47       b=49° 35’

cosB=c/a         B=75.47/0.5605                            R=139.69

3.     a=34.27       b=16° 55’

cosB=c/a         B=34.27/O.9612

4.      a=126.45     b=78°   44´

cosB=c/a         B=126.45/0.20                  R=604.10

5.    a=44.21     b=49°26’

6.    a=134.80       b=77°26’

CALCULESE LA HIPOTENUSA SABIENDO QUE:

7.    c= 25     b=18°30’

COSB=C/A

A=C/COSB                         A=25/0.9510

                                           A=26.28

          8.c=37         b=75°20’

COSB=C/A

A=C/COSB                                                A=37/O.2588

                                          A=142.95

               9.c=9.75       b=37°43’

COSB=C/A

A=C/COSB                         A=9.75/0.7986

                                            A=12.20

10. c=17.83       b=76°35’

COSB=C/A

A=C/COSB                        

11. c=125         b=64°28’

12. c=21.79          b=35°45’

CALCULESE EL ANGULO B EN LOS TRIANGULOS RECTANGULOS EN QUE:

13.  a=37       c=18.23

14.  a=45.32        c=30.25

15.  a=.27        c=.12

COSB=C/A

A=C/COSB                        

16. a=135           c=57

17.el pie de una escalera de 10m, apoyada contra una pared, queda a 3m de esta ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?

18.una cuerda subtiende un arco de 48°¿Cuál es la longitud de su flecha, si el radio es de 5cm?

19. ¿Cuál es la longitud de la apotema y el área de un eneágono regular inscrito en una circunferencia de 24cm de radio?

20.la base de un triángulo isósceles mide 4cm, y cada uno de los lados iguales 5cm . calcular cada uno de los ángulos de la base

21.para obtener la longitud de la huerta, se han medido el ángulo CAB, que es de 33°, y la distancia AC=276m ¿Qué longitud tiene la huerta?

22.un barco navegando desde P hacia el noroeste, ha llegado al punto A, distante 25km de I. supuesta plana la superficie de las  aguas, ¿a que distancia AB se haya de la dirección norte-sur del punto de  partida?

Fun               cosB=c/a                      c=(a)(cosB)

                                                         C=(25)(0.7071)                   r=17

                                                    RESUMENES

CLASIFICACION Y FORMAS DE MEDICION DE ANGULOS. CONVERSION DE ANGULOS

CLASIFICACION DE ANGULOS:

Clasificación de ángulos según su medida

Ángulo agudo

  Mide menos de 90°.

 Ángulo recto

 Mide 90°.

 Ángulo obtuso

Mide más de 90°.

 Ángulo llano

 Mide 180°.

 Ángulo convexo

 Mide menos que un ángulo llano.

 Ángulo cóncavo

 Mide más que un ángulo llano.

 Ángulo nulo

 Mide 0°. Las semirrectas que forman los ángulos coinciden.

 Ángulo completo

 Mide 360°.

 Ángulo negativo

Los ángulos negativos giran en el sentido horario, es decir, en el sentido en que se mueven las agujas de un reloj.

Clasificación de ángulos según su posición

 Ángulos consecutivos

Son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes

Son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.

 Forman un ángulo llano.

 Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Clasificación de ángulos según su suma

 Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman .

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman .

Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Ángulos correspondientes

Los ángulos  y  son iguales.

Ángulos alternos internos

Los ángulos  y  son iguales.

Ángulos alternos externos

Los ángulos  y  son iguales.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

      

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

     

Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semi-inscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

     

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

     

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella.

 

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

     

Ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

 Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior  Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular 

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman .

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular 

Suma

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.

Resta

La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

Multiplicación de un número por un ángulo

La multiplicación de un número por un ángulo es otro ángulo cuya amplitud es la suma de tantos ángulos iguales al dado como indique el número.

División de un ángulo por un número

La división de un ángulo por un número es hallar otro ángulo tal que multiplicado por ese número da como resultado el ángulo original.

             

FORMAS DE MEDICION DE ANGULOS:

Sistemas de Medición de Ángulos

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean cuatro unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción. Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes. Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados. Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales. Horario: su unidad de medida es el ángulo de 1 hora, que equivale a la sexta parte del ángulo recto.  Relación entre los Sistemas de medición de ángulos: 180º -------- π rad. ----------- 200G----------- 12 hrs Conversión de ángulos El tema es de suma importancia, y en ese sentido comienzo por decirte que es de suma importancia que tengas siempre a mano y sepas bien cómo usar la calculadora científica, tanto para ir comprobando y ejercitando sobre los ejemplos que citaremos en este post como para resolver todas las situaciones problemáticas y ejercicios vinculados a la trigonometría. En relación a la conversión de ángulos, es importante recordar que en la calculadora científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudan a la conversión de las Funciones Trigonométricas. Éstas son §  Grados sexagesimales (D) (DEG) §  Radianes (R) (RAD) §  Gradianes (G) (GRAD) Comienzo por reiterar algunos conceptos básicos del sistema de medición más trabajado, esto es, los grados sexagesimales. §  1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal §  1º = 60 minutos = 60′ (un grado se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama minuto) §  1′ = 60 segundos = 60”  (un minuto se divide en 60 partes iguales, cada una de ellas se llama segundo) Ahora bien, si lo que queremos es trabajar, son las equivalencias para ejercitar sobre las conversiones, un buen punto de partida es señalar que: §  Un ángulo de 180° equivale a π radianes §  Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes §   Vale recordar que el número π ≈ 3,14159265359…    Algunos casos particulares Por ejemplo, puede suceder que se nos presente el caso de tener que convertir una medida de ángulo expresada como decimal, a grados minutos y segundos. Lo mejor es analizar un ejemplo: §  Convertir 18, 4567º a grados, minutos y segundos. La buena noticia, es que si dispones de una calculadora científica, una tecla especial de la misma (busca la que tiene juntos los símbolos º ‘ ”) hará todo el trabajo. Si no dispones de ella, esto es lo que debes hacer… 1) Se toma la parte entera y esos son grados netos, sin duda. Así que vamos contabilizando 18º. 2) Luego tomamos la parte decimal  la multiplicamos por 60, para obtener los minutos, así:  0.4567 * 60 = 27.402. De este resultado nuevamente separamos la parte entera, es decir 27, que serán los minutos. 3) Por último tomamos los decimales que no usamos en el paso anterior es decir los 0,402 y los multiplicamos nuevamente por 60, para obtener los segundos.  De este modo, obtenemos: 0.402 x 60 = 24.12. De este resultado, nuevamente se toma la parte entera despreciando la decimal. Resultado final: 18, 4567º = 18 º 27 ‘ 24”                   RAZONES TRIGONOMETRICAS El primer paso que se hace necesario dar antes de entrar a establecer el significado del término razones trigonométricas es determinar el origen etimológico de las dos palabras que le dan forma: -Razones deriva del latín, de “ratio”, que es sinónimo de “razón”. -Trigonométrico, por su parte, tiene un origen griego. Significa “relativo a la trigonometría”, y está compuesta de los siguientes elementos de esa lengua: el sustantivo “trigonon”, que puede traducirse como “triángulo”; el nombre “metron”, que equivale a “medida”, y el sufijo “-ico”, que significa “relativo a”.

Ángulos de elevación y de depresión

El término ángulo de elevación denota al ángulo desde la horizontal hacia arriba a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría sobre la horizontal.

El término ángulo de depresión denota al ángulo desde la horizontal hacia abajo a un objeto. Una línea de vista para el observador estaría debajo de la horizontal.

Dese cuenta que el ángulo de elevación y el ángulo de depresión son congruentes .

ASPECTOS COMUNES ENTRE LOS CONCEPTOS DE LOS ANGULOS DE ELEVACION Y LOS ANGULOS DE DEPRESION

 

CARACTERISTICAS PARA LA MEDICION DE ANGULOS EN TRIGONOMETRIA (ANGULOS DE REFERENCIA)

CUADRANTE   3

CUADRANTE 4

CUADRANTE   1

CUADRANTE   2

Un ángulo de referencia es un ángulo agudo positivo que representa un ángulo 0 de cualquier medida.

Este es el angulo mas pequeño

Formado entre el lado terminal de 0

Y el eje x. siempre utlizamos este

Ultimo como su marco  de referencia

Y le procedimiento para medirlo

Dependerá del cuadrante en el que

Se encuentre 0.

DEFINICION

Sea 0 un angulo en posición estándar; el angulo de referencia para este es el angulo positivo agudo que el lado terminal de 0 hace con el eje x.

FORMULA PARA EL ANGULO DE REFERENCIA

0 se mide en base de la posición de un angulo dado en cualquiera de los 4 cuadrantes de un plano rectangular

SECUENCIAS PARA REPRESENTAR Y CALCULAR ANGULOS DE REFERENCIAS

                       Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas, parece haber tenido su origen en las investigaciones de los griegos de la medida indirecta de distancias y ángulos en la "esfera celestial" como así sus medidas de las tierras inundadas por el Río Nilo.  La palabra "trigonometría", basada en las palabras griegas para las medidas de triángulo, fue utilizada por primera vez como un título para un texto por el matemático alemán Pitiscus en 1600 A.C.   Originalmente, las funciones trigonométricas fueron restringidas a ángulos y sus aplicaciones a la medida indirecta de ángulos y distancias. Estas funciones gradualmente se liberaron de las restricciones, y ahora existe funciones trigonométricas de números reales.  Las aplicaciones modernas varían sobre muchos tipos de problemas y tienen poco o nada que ver con ángulos o triángulos. Funciones Trigonométricas de Ángulos.      Estas se definieron en el triángulo rectángulo para el ángulo indicado. Son conocidas como razones trigonométricas.      Recuerde que un triángulo rectángulo es aquel triángulo que tiene un ángulo recto (90°). La relación entre los lados en estos triángulos es c2=a2+b2. Funciones Trigonométricas de Números Reales. El número real t, que es la longitud del arco de la circunferencia unitaria U, es la medida en radianes del ángulo θ.      Se puede asociar a t un punto único P(t) de la circunferencia unitaria U como se muestra en la figura de la derecha. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas del Punto P(t)=(x, y).        Valores de las funciones trigonométricas para arcos comunes      Las funciones trigonométricas para arcos comunes se obtienen a partir de la circunferencia unitaria. Los arcos comunes expresados en grados son 0, 30, 45, 60 y 90 grados. En la siguiente figura veraz la tabla que resume el valor de las seis funciones trigonométricas para cada uno de estos arcos. CIRCULO UNITARIO Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El ángulo 4π/3 es un múltiplo de π/3 por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo 4π/3 se obtienen por simetría con el origen. Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica cos(θ)=x en la circunferencia unitaria. Finalmente cos(4π/3)= -1/2 porque la simetría con el origen implica signos opuesto de x y y. cos(4π/3)= x = -1/2

MATRIZ DE CLASIFICACION DE LAS CARACTERISTICAS DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Gráfica de las funciones trigonométricas

Algunas de las propiedades de una gráfica de las funciones trigonométricas son: dominio, máximo, asíntotas, periodo, alcance, etc.

Las funciones trigonométricas son: y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x), en donde lo que está en el paréntesis es el dominio y “y” es el alcance.

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = sen(x)

El ciclo de la función seno comienza en 0 y termina en 2π.

Dominio: el conjunto de números reales

Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.

Cruza el eje de “y” en (0,0)

El eje de referencia es: eje “x”.

El punto máximo es:  (π/2,1)

El punto mínimo es: (3π/2,-1)

Su período: 2π.

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = cos(x)

El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π.

Dominio: el conjunto de números reales.

Alcance: el conjunto de números mayores o iguales que -1 hasta los números menores o iguales que 1.

Cruza el eje de “y” en: (0,1)

El eje de referencia es: el eje “x”

El punto máximo es:  (0,1) y (2π,1)

El punto mínimo es: (π,-1)

Su período: 2π

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = tan(x)

El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2.

 Tiene asíntotas en el ciclo.

Dominio: toda x diferente a (π/2)±nπ

Alcance: el conjunto de todos los números reales.

Cruza el eje de “y” en  (0,0)

El eje de referencia es: el eje “x”

El punto máximo es:

El punto mínimo es:

Su período: π

Asíntotas: x=±π/2

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = cot(x)

El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π.

Tiene asíntotas en el ciclo.

Dominio: toda x diferente a ±nπ

Alcance: el conjunto de todos los números reales.

No cruza el eje de “y”

El eje de referencia es: el eje “x”.

Su período: π

asíntotas: x=±nπ

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = sec(x)

El ciclo fundamental de la función secante del ángulo comienza en -π/2 y termina en 3π/2.

Tiene tres asíntotas verticales.

Dominio: el conjunto de números reales excepto los múltiplos impares de π/2

Alcance: el conjunto de todos los números reales menores menores o iguales que –1 y todos los números mayores o iguales que 1

Cruza el eje de “y” en (0,1)

El eje de referencia es: el eje “x”

El punto máximo es:  (π,-1)

El punto mínimo es:  (0, 1)

Su período: 2π

Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2

CARACTERÍSTICAS DE LA GRÁFICA DE  y = csc(x)

El ciclo fundamental de la función cosecante del ángulo comienza en 0 y termina en 2π.

Tiene tres asíntotas.

Dominio: el conjunto de números reales excepto los multiplos impares de π/2

Alcance: el conjunto de todos los números menores o iguales que -1 y todos los números mayores o iguales que1

Cruza el eje de “y” en (0,1)

El eje de referencia es: el eje “x”

El punto máximo es:   (π,-1)

El punto mínimo es: (0, 1)

Su período: 2π

Asíntotas: x=-π/2, x=π/2 y x=3π/2

                   LEY DE SENOS Y LEY DE LOS COSENOS

Ley de senos. La ley de senos es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos. Usualmente se nos presenta de la siguiente forma: Igualmente tenemos los despejes para cuando buscamos un lado y un ángulo respectivamente, añadiendo que al resultado de segundo despeje (el del ángulo) debemos sacarle seno inverso para que nuestro resultado sea correcto. Para poder usar la ley de senos debemos cumplir las siguientes condiciones: - Conocer un lado y dos ángulos del triángulo (LAA). - Conocer dos lados y el ángulo entre ellos (LLA). A continuación presento un ejemplo bastante sencillo usando un triángulo rectángulo. Tenemos el siguiente triángulo: Al ser un triángulo rectángulo, sabemos que el ángulo C mide 90 grados, nos indican que el ángulo A mide 45 grados por lo que podemos obtener el ángulo B restando la suma de estos dos valores a 180 grados; de esta manera sabemos que el ángulo B mide 45 grados. Después de realizar las operaciones obtenemos lo siguiente: Los pasos para resolver este triángulo son los siguientes: - Sabemos que es un triángulo LAA ya que conocemos el lado a y los ángulos A y C. - Despejamos nuestra razón de c sobre seno de C igual = a sobre seno de A; de esta manera encontraremos el valor del lado c. - Sustituimos nuestros valores en la fórmula que despejamos y obtenemos como resultado 16 por la raíz de 2. - Al ser un triángulo rectángulo podemos sacar el lado b directamente con el teorema de Pitágoras como lo hice en este ejercicio, aunque podríamos usar la ley de senos para obtenerlo. Ejercicio de aplicación. Una manera de aplicar la ley de senos es para obtener la altura de distintos objetos. En el siguiente caso la usaremos para obtener la altura de una torre de agua y una ventana. Tenemos como datos la distancia que hay desde el edificio a la torre de agua y dos ángulos que se forman desde la ventana hacia la base y la punta de la torre respectivamente, formando así dos triángulos rectángulos que resolveremos para obtener las alturas deseadas. Lo que podemos hacer en este caso es trazar ambos triángulos rectángulos; los pasos a seguir son los siguientes. - Para el primer triángulo sabemos que el ángulo A mide 39 grados y que el ángulo C mide 90 grados, para obtener el valor del ángulo B lo que hacemos es restar a 180 grados la suma de los otros dos y obtenemos como resultado 51 grados. - Realizamos nuestro despeje de la relación de lados y senos. - Sustituimos los valores dados en nuestra fórmula. - Obtendremos dos valores para a, si queremos conocer la altura total de la torre de agua debemos sumar ambos valores. - Si queremos conocer la altura de la ventana sólo usamos la altura del segundo triángulo que es el que está más cercano al suelo. Ley de cosenos. La ley de cosenos es una relación de un lado del triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados: Observamos cómo se utiliza la ley de cosenos cuando queremos buscar cualquier lado del triángulo, vemos que es muy parecido al teorema de Pitágoras; de igual forma tenemos el despeje de la fórmula cuando estamos buscando un ángulo del triángulo. Para poder utilizar la ley de cosenos debemos cumplir dos condiciones. - Tener dos lados del triángulo y el ángulo entre ellos. - Tener la medida de los tres lados del triángulo (donde usamos los despejes del lado derecho de la imagen). Incluyo un ejemplo donde utilicé la ley de cosenos para resolver el siguiente triángulo. Sé que puedo utilizar la ley de cosenos para resolver este problema ya que conozco la medida de los lados a y c, así como el ángulo que se encuentra entre ellos (B). Realizando las operaciones correspondientes obtuve lo siguiente: Los pasos para resolver el triángulo son: - Ya que estoy buscando el lado b del triángulo utilizo la fórmula de ley de cosenos para ese lado. - Sustituyo mis valores en la fórmula y realizo las operaciones obteniendo como resultado la raíz cuadrada de 139 y la dejo indicada así. - Ya que tengo los tres lados del triángulo puedo obtener ya sea el ángulo A o el ángulo C; en este caso encontré el valor del ángulo A. - Despejo la fórmula de ley de cosenos para mi ángulo A. - Sustituyo los valores dentro de mi fórmula despejada y realizo las operaciones. - Obtengo como resultado la medida del ángulo A que es de 12.83 grados. Para conocer la medida del ángulo C sin aplicar ley de cosenos es restar a 180 grados la suma de los valores de los ángulos A y B, de este modo sé que el valor del ángulo C es de 47.17 grados. Como conclusión a este tema puedo decir que al principio me costaba un poco de trabajo recordar las fórmulas de estas leyes, con un poco de práctica logré conocerlas mejor y saber en qué situaciones usar cada una de ellas; así como poder utilizarlas en distintos problemas de aplicación como medir alturas de edificios o distancias entre dos puntos conociendo sólo lados y ángulos de un triángulo. Además sé que no estoy casado con un solo método, puedo utilizar todos los recursos que tengo como estas leyes o el mismo teorema de Pitágoras.

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